Недавно делал листочек на одну тему и вспомнил такую забавную задачу с недавнего (относительно:)) заочного этапа олимпиады Шарыгина.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Прямые AD и BC пересекаются в точке X, а прямые AC и BD в точке Y. Биссектрисы углов AXB и AYB пересекают AB в точках U и V. Докажите, что C, D, U, V лежат на одной окружности.

из случано нашедшегося: задача ученика 10 класса М.Волчкевича в Кванте за 1987 год

Burkard Polster (Mathologer) показывает анимированные версии доказательств Конвея — в т.ч. теоремы Морли (Морлея), существования окружности Конвея:

https://youtu.be/VrXnwmyxylg

186 7/7. #алгем
Awesome ratio lemma, Ю. Нагуманов, осень 2024.
Решена мною в марте этого года.

Подробнее можно почитать в проекте ЛКТГ 2025 "Инварианты Понселе в свете cool ratio lemma".

(a) (Простое и очень полезное утверждение, все могут попробовать решить и запомнить)) Дан треугольник ABC с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Пусть угол A = α. Тогда AH / AO = 2cos α.

(b) (Сложное утверждение, но на самом деле не очень сложно следует из утверждения выше)
Пусть OH пересекает AB и AC в точках X и Y. Тогда O_1H_1 параллельна стороне BC, где O_1 и H_1 центр описанной окружности и ортоцентр треугольника AXY соответственно.

#реклама

📞 ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ОТ PHYSX

Главное событие этого лета. Мы все долго ждали!

⚡️С 4 по 11 августа мы проводим онлайн олимпиады по математике для будущих 6-9 классов и по физике для будущих 3-9.


🖇️2 олимпиады:

⚪️математика 6-9 классы, но и 5 класс может попробовать силы
⚪️физика будущие 3-9 классы

Интересные и качественные варианты заданий, открытые уроки по математике и физике от лучших педагогов, встреча для родителей и крутые призы для всех призеров и победителей!🔥

Приглашаем всех, кто:
• ждет олимпиадного сезона
• стремится получить новые знания, навыки
• соскучился по науке, экспериментам и интересным фактам
• хочет вспомнить основные темы прошлых лет обучения

Условия прохождения заданий: 120 минут и 1 попытка

💬Наше топовое жюри: Бовбыр Г. И., Почепцов И.С., Кузнецов М.Д. и другие

Также вас ждут бесплатные открытые уроки по математике:

• 5 августа, 18:00 мск — Открытый урок для 7-8 классов
«Метод математической индукции и рекурсия», Карасёв Алексей Алексеевич

• 6 августа, 19:00 — Открытый урок для 5-6 классов
«Умения и инструмент: раскрашивание клеток в тетради и карандаши», Санников Григорий Сергеевич

• 7 августа, 18:00 мск — Родительское собрание
«Как подготовиться к олимпиадам и взять дипломы на финалах», Бовбыр Глеб Иванович

а также 2 открытых занятия по физике!

📎ЗАПИСАТЬСЯ НА МАТЕМАТИКУ

📎ЗАПИСАТЬСЯ НА ФИЗИКУ

ерид: 2VtzqwVLecx

на ЛКТГ-2025 есть и еще один геометрический проект, https://turgor.ru/lktg/2025/5/5-1-origami-rus.pdf

обсуждаются геом. построения при помощи сгибания бумаги, увеличивающие периметр сгибания листа («задача Арнольда о мятом рубле»), аналоги формулы Герона и изгибаемые многогранники

Уже совсем скоро начнётся ЛКТГ. Первые части проектов уже можно найти тут.

Традиционно есть один проект по классической геометрии про теорему Понселе и CRL, в котором можно найти много всего интересного)

#красота_спасет_мир

В догонку публикуем еще задачку с подвижной 🏃 картинкой (но не решением!)

Задача 10.6. Даны окружности Ω и 𝜔𝑎, являющиеся соответственно описанной и 𝐴-вневписанной для некоторого треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼𝑏, 𝐼𝑐 — центры двух других вневписанных окружностей, а 𝐴𝑏, 𝐴𝑐 — точки касания продолжений сторон 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 с 𝜔𝑎. Докажите, что точка пересечения прямых 𝐴𝑏𝐼𝑏 и 𝐴𝑐𝐼𝑐 не зависит от треугольника 𝐴𝐵𝐶.

Для тех кому хочется чего-то школьного, то вот была такая задача в 8 классе от М. Волчкевича.

В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?

Моя задача с олимпиады Шарыгина.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Через точки A, B, C, D проведена произвольная коника. Рассматривают четыре прямые, получающиеся после изогонального сопряжения этой коники относительно треугольников ABC, ABD, BCD, ACD.

(!) Четырёхугольник образованный этими прямыми – описанный

Сегодня стартует финал олимпиады имени И.Ф. Шарыгина.

Отличная книжка, посвященная олимпиаде.

https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/Sharygin.pdf

Вот кое-что попроще)

Да, мне определенно нравится эта задача! Очень красиво!

P, Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.

Двадцать первая олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, 2025 год, 10 класс, 2 задача

#O2025 #Sharygin #Sharygin_2025

Найдите угол DAC.