Рассмотрим красную пунктирную окружность с центром в X, синюю пунктирую окружность с центром в Y, зеленую пунктирную окружность с центром в Z, перпендикулярные описанной окружности ABCDEF. Рассмотрим произвольную фиолетовую окружность через C и F. При инверсии относительно красной пунктирной окружности она перейдет в сиреневую через A и D. При инверсии относительно синей пунктирной окружности сиреневая перейдет в оранжевую через B и E. Заметим, что при инверсии относительно зеленой пунктирной окружности оранжевая перейдет обратно в фиолетовую (образ должен проходить через C и F и образовывать такой же (ориентированный) угол с описанной окружностью ABCDEF). Осталось заметить, что центр инверсии, переводящий одну окружность в другую, является их центром гомотетии, поэтому точки X,Y,Z лежат на одной прямой по теореме о трех колпаках.

Красная парабола и черная окружность касаются в двух точках. Хорда параболы AR касается окружности. Точка D выбрана на отрезке через точки касания так, что (DAR) касается этого отрезка. Докажите, что DA с DR образуют прямой угол.

Что-то возле этого сюжета.
Дано n прямых через точку P. На каждой из них выбрали по две точки, которые образовали описанный 2n-угольник. Докажите, что вершины этого 2n-угольника можно двигать по этим прямым, чтобы прямые содержащие его стороны касались той же этой окружности.

три касательные к окружности фиксированы

доказать, что для всевозможных положений четвертой касательной (на рисунке синяя) точки пересечения диагоналей возникающего четырехугольника лежат на одной прямой

На сторонах AB и AC треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ACDE и ABHF. Докажите, что если точки B и C фиксированы, то при всех положениях точки A прямая DH проходит через фиксированную точку.

Наконец стала известна дата, так что:

Устная олимпиада по геометрии НИУ ВШЭ пройдет 23 ноября.


В этом году олимпиада проводится для учеников 8–11 классов в трёх параллелях: 8, 9 и 10–11 классов.

Чтобы не утруждать вас отборами, сразу на заключительный этап допускаются дипломанты любых перечневых олимпиад по математике.

Если дипломов ещё нет, то несложный отбор всё-таки придётся пройти. Подробности о том, как он проходит, можно найти на сайте. Там же можно найти задания и решения олимпиады прошлого года и другую полезую информацию.

Для участия необходима предварительная регистрация, доступная по ссылке.

(Если планируете участвовать, то зарегаться лучше сейчас, так как сайт вышки имеет свойство уходить на тех. обслуживание в рандомный момент времени)



P.S. Как жюри хочу сказать, что мы подобрали очень крутые варианты и олимпиада действительно будет насыщена красивыми задачами и новыми конструкциями. Так что всем рекомендую принять участие.